16 随机变量之间的独立性

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本课程为国家发展研究院朱晓宝老师所开设的《概率统计（B）》。

💫 随机变量的独立性

首先回顾一下事件的独立性：在学习随机事件的时候，如果两个事件和满足
那么我们称这两个事件和是相互独立的。
这其实意味着
也就是说事件的发生不影响事件发生的概率（反之也成立）
 
那么对于随机变量来说呢？
对于随机变量和来说，如果有
成立，那么我们称 随机变量和相互独立 。上式左侧是和的联合分布函数，右侧分别是变量的分布函数和的分布函数。也就是说，联合分布函数等于边缘分布函数的乘积时，两个随机变量相互独立。
直观上，仿照事件的独立性来说的话，如果两个随机变量和的取值不相互影响，这两个随机变量就是相互独立的。通过随机变量独立性的定义我们可以看出确实如此，因为上面的式子意味着和表达的任何事件都相互独立。也就是说，对于任意的 ，都有
 
例 设连续型随机向量的分布函数为
判断是否相互独立，并求概率。
 
首先讨论一个题外话，这样定义出来的一定是一个分布函数吗？对于分布函数我们好像比较难验证，因为考虑密度函数的定义，我们可能至少要验证以下几条（为了简单一些，我们用一维的和来描述）：
（1）单调不减：因为密度函数是非负的，所以分布函数一定是不减的；
（2）：由得到；
（3）右连续：由分布函数的定义得到。
但是如果把它转换成密度函数，我们就可以通过验证（1）是否非负（2）是否积分为1来验证。所以我们先求偏导数得到对应的“联合密度函数”：
它非负是显然的，并且
所以确实是一个联合密度函数。
但这并不能说明就一定是一个联合分布函数，关键在于对应的联合分布函数是吗？（其实并不一定，因为并不意味着）
我们通过验证发现，
所以确实是对应的联合分布函数，那么这个确实是一个分布函数。（上述过程有些绕，可以思考一下关于密度函数的定义以及联合分布函数和联合密度函数之间的关系）
结合上面的过程，我们可以知道，如果想要验证一个函数是一个分布函数，我们可以验证它求导得到的是是一个密度函数，并且这个对应的分布函数确实是。
验证“对应的分布函数确实是”的理由也很简单，我们可以举个例子，比如
它求导得到的
确实是一个密度函数，但是对应的分布函数却不是。
 
我们再按照定义来验证和是否独立。首先求出两个边缘分布函数
所以有
那么和是相互独立的。
这样，我们就可以方便地求出
如果不使用独立性，其实也可以直接用联合分布函数进行计算：
 

💫 连续型随机变量的独立性

如果两个随机变量和都是连续型随机变量，那么我们可以对定义中的两侧求导：
所以对于连续型随机变量来说，当联合密度函数等于边缘密度函数的乘积时，两个随机变量是独立的。
 
例 再重新考虑刚刚的例子。设连续型随机向量的分布函数为
求导可以得到
所以有
也能够说明和是独立的。
 
例 设随机向量 ，证明 和 相互独立等价于 。
我们在之前分别写出过它们的联合密度函数和边缘密度函数：
那么边缘密度函数的乘积为
所以
等价于
 
例 设随机向量，其中，判断和是否相互独立。
 
notion image
首先，显然随机向量的联合密度函数为
分别对和积分可以得到边缘密度函数：
所以有
于是和是相互独立的。
对于矩形区域，上面的过程也是成立的。
 
例 如果把区域换一下，改为随机向量，其中，判断和是否相互独立。
notion image
同样地，随机向量的联合密度函数为
分别对和积分可以得到边缘密度函数：
所以
那么和并不是是相互独立的。
 
例 设随机向量的密度函数为
判断是否相互独立，并求概率。
首先积分可以得到边缘分布函数
所以
那么是相互独立的。
所以
一般来说，如果随机向量的区域得是一个矩形，矩形的边平行于坐标轴，并且联合密度函数中的是用乘法结合起来的形式，那么这时联合密度函数中的一般能分开，对应的随机变量一般是独立的。
 
例 设随机向量的密度函数为
判断是否相互独立，
可以求得边缘密度函数为
所以和并不独立。
 
例 设随机向量的密度函数为
判断是否相互独立，
可以求得边缘密度函数为
所以和是独立的。
因此就像我们上面所描述的，区域是平行于坐标轴的矩形并不够，还需要联合密度中的是乘积或者除法的形式。
 
例 设，并且相互独立。求的联合密度函数，并求
在独立的情况下，我们直接求乘积就能得到联合密度函数：
考虑事件，这其实意味着和均小于等于0，那么
在第18讲我们还会讨论诸如相关的事件如何求，这类问题被称为随机向量函数的分布。
 

💫 离散型随机变量的独立性

如果两个随机变量和都是离散型随机变量，那么我们可以类似地定义独立性。
随机变量相互独立等价于：
结合概率分布表可以看的更加清楚，需要验证每一个格子上的等于它那一行和那一列对应的和的乘积。
notion image
 
例 设随机向量 的概率分布和边缘分布如下：
notion image
判断 是否相互独立。
我们可以看到
所以不是独立的。
 
例 设一段时间内通过清河汽车收费站的电动汽车和燃油汽车的数量服从Poisson分布： ，其中（单位：辆），若电动车和燃油车的到来相互独立，求此段时间内恰好到来2辆汽车的概率。
如果来2辆汽车，可能的情况分别是：2辆燃油车、1辆燃油车和1辆电动车、1辆电动车。所以概率为
我们可以用独立性把后面三个概率写出来
 
我们看到后面的形式非常像服从Poisson分布的随机变量在处的取值，事实上也确实如此：
例 设相互独立，并且，那么有
我们直接计算 的概率分布即可：
后面一项刚好是二项式定理的展开式，所以有
所以
 

💫 关于独立性的补充

  • 随机变量相互独立时，它们的函数也相互独立。
      • 证明其实非常简单，我们以离散型作为例子来证明：
      其中分别为对应的原像集，然后使用“随机变量独立时，它们所表达的任何事件都独立”即可。
  • 多个随机变量相互独立如何定义？
      • 相互独立等价于
      类似于事件的独立性，随机变量的相互独立也是可以推出两两独立的，比如
      反之，如果只有两两独立，是推不出相互独立的。
      此外，如果把它们分开，比如 和 ，它们也是互相独立的。
       
例 考虑一系列服从两点分布的随机变量，这些随机变量是相互独立的，证明
我们同样来计算的概率分布：
我们可以想象，如果要求，那么可以从其中挑出个取值为，剩余个取值为，这样挑的方法共有种，所以上述的概率为
所以有
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