爱吃海底捞0 补充知识
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一些这门课需要大家掌握的数学基础，供大家参考:)
有许多选课同学问我学习这门课需要怎么样的数学基础，这一部分会为大家介绍一些概率统计中会涉及到的数学分析/高等数学相关知识，基本上每个知识点都是简单介绍，本课程中用到这些知识的时候都不会很复杂，比如涉及到积分的时候，你并不需要考虑他是否可积，直接积就完了。
💫 导数
相信大家都学过导数，如果没有学过，那我还是不太建议你选修这门课程:)
💫 积分
积分在概率论中非常重要，连续型随机变量（向量）的计算都需要用到积分的相关知识。当然，大多数情况下你会算就可以了。
定积分
考虑一个函数，我们计算它在区间上与轴所围的曲边梯形的面积：
求这个面积时，通常要进行被我们称作“分割、求和、取极限”这样一个过程，得到下面一个极限
这个极限的结果就被我们称作是在上的 定积分 ，记作
定积分的计算方法十分简单，只需要找出原函数即可，假设
就是的一个原函数，那么
计算的时候找出原函数即可（实际上，这个过程就是导数的逆运算）。
例 计算某一个满足指数分布的随机变量在上的概率:
变上限积分
在定积分中，我们一般是在某个区间上对一个可积函数进行积分，但如果在上是可积的，那对于任意一点，在上也一定可积，我们把
称作是函数的 变上限积分 ，通常在积分的时候我们会把积分中的自变量写成，这样就不会引起混淆。
变上限积分满足如下性质：
在我们对连续型随机变量的概率密度函数和分布函数相互转换时，就需要用到变上限积分。
例 对于某个指数分布的密度函数
我们就可以进行变上限积分，得到其分布函数。
首先，对于，我们有
而对于，我们有
所以该指数函数的分布函数就是
反过来，你也可以通过对分布函数求导来得到密度函数。
广义积分
广义积分一般包括无穷积分和瑕积分，我们主要介绍一下无穷积分。和无穷级数类似，我们称
为函数在区间上的无穷积分。
在假定积分一定存在且收敛的情况下，无穷积分的计算十分简单，和定积分的计算没有很大区别：
其中是函数的原函数。
例 对于上面我们提到过的指数分布
我们可以证明其概率和为1:
💫 级数
无穷级数的定义
无穷级数 就是一个形如
的式子。在数学分析/高等数学中我们可能大部分时间在考虑这个级数是否是收敛的，但在本课程中我们基本不会见到发散的级数，因此我们几乎并不需要大家学过的那些令人讨厌的（比如Cauchy、D'Alembert等）判别法，我们需要会的是如何计算一个收敛的无穷级数的值。
无穷级数的计算
那么如何计算无穷级数呢？一种简单的方法是计算前项和，然后再计算，道理是在收敛时，有
比如大家高中学过的等比数列，我们就可以先计算出来前项和
那么就可以计算出无穷级数
使用场景
本课程中级数的应用场景比较简单，一般用在随机变量的概率分布以及数字特征的计算中，主要是几何分布和泊松分布相关的求解。常见的情形有
例 最简单的，直接使用我们上面提到的一般无穷级数的计算方法，如计算几何分布的概率和为1：当时，
例 有些如泊松分布相关的级数的求解需要用到泰勒级数，泰勒公式和泰勒级数的概念大家应该在数学分析/高等数学中都接触过：
如果你没有学过，那也不用担心，你只需要知道在处的泰勒级数如下即可
这个级数可以帮助我们计算一些东西，比如要计算泊松分布的概率和为1，令上式中的，我们就可以推出:
例 有些时候需要用到求导的技巧，比如要计算计算几何分布的均值
时，我们可以发现它等于
（在本课程的设定下，你可以随意交换这些求导与求和符号的顺序）所以这个级数的值就是
例 有些时候可能需要结合上面两种方法，比如计算泊松分布的均值时，就需要计算如下的级数
我们就可以先处理一下这个级数，我们会发现时这一项为0，所以可以从开始计算，因此我们可以做如下处理：
计算泊松分布的二阶矩
也可以用类似方法处理。
From CXZ：实际情况是，大多数时候我们并不会涉及课上没接触过的分布的数字特征相关计算，所以你在老师上课讲过这些分布的均值和方差之后记住他们（可能）（也许）就大概就用了？
有了上面这些，你在课上或者作业中见到形如
的式子时就不用太害怕了。
二项式定理
有些时候你见到的求和符号可能不是上面的这种形式，而是
这一形式，这是在对于一个数列求某些项的和，在本课程中这样的求和可能会涉及到 二项式定理 ：
其中的组合数的定义为
这个公式在你算一些概率相关问题时也非常有用。
例 比如计算二项分布的概率和为1: 当时，我们有
例 二项式定理还可以用来计算二项分布的均值，但需要做一些更为复杂的处理：
至此，当你在本课程中见到这一符号时，你大概就能够解决相关问题了。
💫 偏导数
在学习到统计学部分的参数估计时，我们会学到一个叫最大似然估计的参数估计方法，对于含有多个参数的似然函数，我们需要求偏导数来得到极值点。
当你会了导数之后，偏导数就变得十分简单，比如我们要求一个多元函数对于的偏导数，我们需要将视为常数，正常对求导即可，对于的偏导数符号记为
同理求对于的偏导数时，则需要将视为常数。
例 一个常见的例子是求正态分布均值和方差的最大似然估计，对于函数
我们需要令对于两个参数的偏导数为0，分别为
和
可以解得
这个结果其实就是正态分布的均值和方差均未知时它们的最大似然估计。
💫 重积分
重积分主要在多个随机变量的函数以及随机向量部分使用，不过我们应该最多使用到二重积分。但由于重积分的图太难画，公式也挺多的，所以贴几页高等数学的相关内容供没有学过的同学看一下好了）
里面的定理并不重要，需要主要关注的是如何计算二重积分，包括如何把二重积分变为累计积分、极坐标变换、变量替换公式。
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