6 全概率与Bayes公式 | 爱吃海底捞

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💫 全概率公式

我们在上一节学到条件概率的时候了解了乘法公式：

同理我们也可以得到

我们回忆之前所学的概率的性质，有

结合上面三个等式，我们可以推出

这个等式就称为 全概率公式 ，它是事件的概率相对于所做的一个分解。

其实我们之前说过，是一个完备事件组，所以我们可以用完备事件组把某一个事件的概率拆分成某个完备事件组概率的线性组合，类似于线性代数中的“基”。

所以一般来说，想要计算事件的概率，就会转换为如何寻找一个好的和如何计算和。

例先后两次取球，每次取1球(不放回)，用全概率公式求第2次取球为绿的概率。

用分别表示第1、2次取到绿球，那么

如何不使用全概率公式来做呢？其实很简单，我们应该经常听到过一个事情，比如10个人要抽签决定比赛出场顺序，抽签的先后其实和最终抽到的顺序是没有关系的。类比到这个题里面，第2次取球为绿的概率其实和第1次取球为绿的概率是一样的，所以就是

例（赌徒输光问题）甲乙赌博，赌本一共元，甲和乙分别有和元。每次赌博，甲以概率赢得1元，以概率输掉1元，各局是相互独立的。假设其中一方输光时赌博停止，求甲最终赢得所有资金的概率。

令，。我们可以把这个赌博问题简化成以下这幅图：

数轴上一共有个点，代表着甲可能有的资金。甲目前处于这一点，它以的概率赢得1元，走到这个点，又以的概率输掉1元，走到这个点。

我们用表示从这个点出发，甲能够赢得所有资金的概率，那么。

我们接下来考虑如何用来分解上面这个概率，实际上，我们我们需要搞清楚和。我们先看，这意味着甲先赢了一局，那么甲就会走到这个点，那么代表的就是甲从这个点出发，甲能够赢得所有资金的概率，也就是；同理我们有。所以我们得到：

这其实意味着

那就有递推公式

如果我们考虑特殊情况，那么有

这时是一个等差数列。我们又知道（因为如果甲资金已经为0，就不可能胜利了，反之如果资金为，那就一定能获得胜利），那么公差就是，所以有

所以赌博为什么一定会输完呢？因为你手中的钱数目是一定的，而赌场的钱有很多钱，相对你来说算是无穷多了，所以你一定会输完。

我们刚刚说到，可以用某个完备事件组把一个事件的概率进行分解，所以如果我们有完备事件组（这意味着它们两两不交，并且并集为整个样本空间），那么我们有如下的 全概率公式 ：

我们上面所讲到的全概率公式是它的一个特殊形式。

这个公式的证明也很简单，我们只需要注意到

然后用乘法公式拆开每个交集的概率即可。

所以以后如果遇到某个事件的概率不好计算，我们可以先看看是否有一些事件（）发生会让这个事件的概率变得好计算（从计算变为计算）。我们只需要找到这些，构成一个完备事件组，再求出它们发生后事件发生的条件概率，就可以使用全概率公式进行求解。

这相当于在计算某个事件发生的可能性时，可以先找出这个导致事件发生的所有原因，再对所有不同原因下导致结果发生的可能性进行求和。

例设华为⼿机玻璃盖板由星星科技、蓝思和比亚迪三家供货，分别占比50%、20%和30%，各家的次品率分别为2%、4%和3%。现把各家供货混合，随机抽⼀块盖板，求其为次品的概率。

令，，，，使用全概率公式，我们有

我们上面讲了抽到产品为次品的概率，但其实在日常生活中，我们遇到更多的情况是，我已经买到了一块坏的盖板，我现在希望知道这个盖板是哪家公司生产的。

抽象来说，我们已经观察到了某个结果事件，我们想知道发生这个事件的原因是什么，这就需要我们把上面的过程逆过来。

想要知道原因是什么，我们可以考虑所有的原因，比如考虑原因事件，我们可以计算，如果这个概率比较大，那就很有可能是原因事件导致的。这个概率的计算非常简单，就是我们之前学的条件概率

但是分子分母分别该怎么算呢？因为我们可以知道各种原因发生的概率，也知道各种原因发生的情况下结果事件发生的概率，那么我们就可以用乘法公式和全概率公式把上面的式子写为

这个公式就被我们称作 Bayes公式 。其中是结果事件，是某个原因事件，我们计算这一条件概率相当于是在“执果溯因”。

此外，被我们称作先验概率（告诉你某个先验信息，比如在手机玻璃盖板问题中，盖板是比亚迪生产的可能性），而被我们称作后验概率（知道某个结果后，会影响/修正我们知道的先验概率）。

例设华为⼿机玻璃盖板由星星科技、蓝思和比亚迪三家供货，分别占比50%、20%和30%，各家的次品率分别为2%、4%和3%。现把各家供货混合，随机抽⼀块盖板，已知抽取的是次品，问此次品最可能来自哪家？

令，，，，那么我们可以计算出分别为

所以最有可能来自星星科技。

例假设某商贩为获取⾼额利润，把9箱太湖蟹伪装成阳澄湖⼤闸蟹和1箱正宗阳澄湖⼤闸蟹混在⼀起，声称都是正宗的。先后有两⼈从此商贩处各购得3箱螃蟹，若第2⼈买的全是太湖蟹，问第1⼈所买螃蟹中有⼀箱是阳澄湖⼤闸蟹的概率。

我们令，，那么