5 条件概率

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本课程为国家发展研究院朱晓宝老师所开设的《概率统计（B）》。

💫 条件概率

当已知随机现象的某些信息或已知某事件已经发生的时候，事件的概率往往会发生变化。也就是说当一些事件发生的时候，有可能会影响另一些事件的概率，这时候就需要我们引入条件概率。
若已知事件发生，则事件发生的概率称为 条件概率 ，记为。
这里称为已知信息，而称为待预测事件。上述条件概率就是在已知发生的条件下，来度量发生的可能性大小。
  • 我们在前几节课学到的非条件概率是在无任何信息情况下，度量事件发生可能性的大小；
  • 这节课所讲的条件概率是在已知事件发生的条件下，度量事件发生的可能性大小。
条件概率其实就是让你考虑的范围缩小了。

💫 条件概率的计算

例 扔一枚均匀的骰子，如果知道扔到的点数是偶数，那么扔出点数为6的概率是多少？
样本空间，扔到点数为偶数对应的事件为，那么扔出点数为6的概率为
 
那么条件概率该如何计算呢？
若已知事件发生，则此随机现象所有的可能结果都在中，可把看作新的样本空间。
若，那么条件概率定义为
 
但这样定义出来的“条件概率”是否是概率呢？
  • 全事件的概率为1:
  • 概率的非负性：因为 ，所以有
    • 可列可加性：当两两不交时，也两两不交，所以有
    所以这样定义出来的“条件概率”就是一个概率。
     
    那么这样是否还有 呢？
    实际上，
    所以上式也成立。
     
    例 假设父母生的小孩性别等可能。若某夫妇生有两个小孩，且已知其中有一个是男孩，推断他们的小孩都为男孩的概率是多少？
    这时样本空间为，所以
     
    例 先后两次取球，每次取1球(不放回)。但若已知第2次取球为绿，则第1次取球为黄的概率为？
    notion image
    概率为
     
    例 一副扑克牌，去掉大小王，一共52张牌。任取两张，计算条件概率：
    (1) ;
    两A的情况包含在有A中，抽出两张A只需要从4张里面选2张，而有A则比较复杂，不过我们可以考虑它的补事件，没有A只需要从剩下的48张中选两张即可，所以
    (2) 。
    二者的交集为“有两张A并且其中有一张是红桃A”，这就需要从剩下3张A里面再选一张。而有红桃A只需要在剩下51张中选1张即可
    从这一例子中可以看出，不同已知信息对于条件概率的值也是有影响的。
     
    例 在富有人群中，退学的比例较高，但是退学就能大概率富有吗？
    notion image
    其实不是的，较大并不一定代表着较大。
     
    例 已知，求。
    我们用上一节学到的概率的性质可以算出
    其实学过概率的各种性质之后，这种类型的题目有很多方法可以做。

    💫 概率的乘法公式

    乘法公式的定义

    回顾一下条件概率的公式：
    根据这一公式我们可以推出来 概率的乘法公式 ：
    这样，计算事件的概率时，我们可以拆成两步：先计算的概率，再计算发生的条件下发生的概率。
    同理我们根据的公式还可以得到
     
    例 假设国航飞机准点起飞的概率为90%，而在准点起飞的条件下，准点到达的概率为90%，求国航飞机准点起飞且准点到达的概率。
    使用我们上面提到的乘法公式：
     
    例 先后两次取球，每次取1球(不放回)，求两次取球都为黄球的概率。
    notion image
    还是使用乘法公式

    乘法公式的推广

    如果把乘法公式推广到3个事件，是什么样的呢？
    其实，我们知道
    所以我们有
     
    例 先后3次取球，每次取1球(不放回)，求下列事件的概率：
    令。
    (1) “第3次才取到绿球”；
    这意味着前两次取到的都是黄球，那么
    (2) “前3次中取到绿球”。
    前三次中取到绿球对应的事件为，我们可以考虑用概率容斥原理，但这样需要计算8个事件的概率，比较复杂。简单点的方法是可以考虑它的补事件，这个概率也可以用乘法公式：
    所以前3次中取到绿球的概率为
     
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