7 事件的独立性

type
status
date
slug
summary
tags
category
icon
password
⏰
本课程为国家发展研究院朱晓宝老师所开设的《概率统计（B）》。

💫 事件独立性

事件独立性的引入

notion image
假设我们扔了骰子、取了球、预测了股票趋势，我们现在希望计算 这个交集的概率，我们可以用乘法公式：
但我们在计算的时候会发现，事件（扔出骰子为6）好像对于是否取到绿球并没有影响，他们也不会对股票是否上涨有影响，它们是“独立的”。所以我们后面两个条件概率可以直接写为
由此，我们可以引出事件独立性的定义：
如果有
那么称 事件独立于 。这也意味着事件的发生对于事件并没有影响。
同理，如果有
那么称 事件独立于 。
有了独立性，我们在计算交事件的概率时就会变的简单：
反之，当时，如果有
我们可以知道事件相互独立，因为原本有
上面的式子就意味着
 
我们下面来正式定义事件的独立性：
若同一样本空间中的事件满足
则称 相互独立 。这告诉我们两个事件同时发生的概率等于他们各自发生概率的乘积，这意味着这两个事件同时发生等价于这两个事件各自独立地发生，也意味着一个事件的发生并不影响另一个事件发生的概率。
此外，这个式子想比如上面定义的“事件独立于”更加宽泛，因为这里面对于两个事件是否要大于0并没有做出要求。
 
例 相互独立，因为
相互独立，因为
 
我们在之前学过两个事件的一种关系叫做“互不相容”：如果互不相容，那么 。听上去这和相互独立好像有些类似，但其实完全不同，因为当时，如果独立，那么
此时一定有
自然有相容。

事件独立性的性质与例子

首先，我们有
  • 零概率事件与其它事件独立
      • 考虑事件，其中，那么我们有
      另一方面，由于，所以
      所以有
  • 概率为1的事件与其它事件独立
      • 考虑事件，其中，那么我们有
      另一方面，由于，所以同理有
      那么
此外，如果相互独立，那么以下各组事件也独立：
我们来证明第一组，其他的证明基本类似。当相互独立时：
所以也相互独立。
 
例 从⼀副扑克牌中（52张牌）任取⼀张，，，判断事件 是否独立。
我们可以计算两个事件同时发生的概率是否等于他们各自发生概率的乘积。
所以有
所以事件是独立的。
 
例 考虑有3个小孩的家庭，小孩的性别⼀共有8种情形：bbb, bbg, bgb, gbb, bgg, gbg, ggb, ggg。考察事件，，判断是否独立。
我们直接用古典概型即可：
所以有
所以事件是独立的。
如果只有两个小孩，那事件还是独立的吗？
这时小孩的性别一共有4种情形：bb, bg, gb, gg。我们再次计算概率：
此时
所以事件此时不独立。
 
例 将⼀枚均匀的骰⼦连续抛两次，考虑下列事件，，，判断(1)是否独立；(2)是否独立；(3)是否独立。
我们先分别计算三个事件的概率：
再计算两两相交的概率：
通过验证我们发现独立，独立，也独立。这种3个事件任意两个都独立的情形，被我们称为两两独立。
 

多个事件相互独立

若同一样本空间 中的事件 满足
则称 相互独立 。
 
例 考虑我们刚刚扔骰子的问题，我们来计算三个事件同时发生的概率：
但是
所以这三个事件只是两两独立，并不是相互独立，这也揭示了相互独立和两两独立的区别。
此外，在多个事件相互独立时，如果我们类似地把其中某一个事件换成它的补事件，比如，它们也是相互独立的。
 
若中的个事件满足：对于任意的，都有
则称 相互独立 。
 
例 设事件相互独立，试证明：与相互独立。
我们按照定义来验证即可：
 
例 设事件相互独立，且
 
求。
我们上面提到，当多个事件相互独立时，我们把其中的一些事件替换为它们的补，得到的一组新的事件仍然是相互独立的，所以我们可以直接用
 
例 设事件 相互独立，证明
我们在事件的运算中学过了de Morgan定律，有
所以
 
例 假设新四军166团被国民党围困，现派出3路求救⼈员，每⼀路有30%的可能突破重围，问166团成功发出求救的概率。
用代表第路突破重围发出求救，那么成功发出求救对应的事件为。
和上一题类似，我们有
 
例 假设某放射性试验，有⼀定的概率使得小白鼠患癌，设每次试验使小白鼠患癌的概率为0.5%. 若对同⼀小白鼠做100次独立试验，求小白鼠患癌的概率。
令，那么我们有
 
例 （Newton-Pepys问题）以下3种场景，哪个出现的概率最⼤： A: 6个⾊⼦独立重复扔出现⾄少⼀个6点; B: 12个⾊⼦独立重复扔出现⾄少两个6点； C: 18个⾊⼦独立重复扔出现⾄少三个6点。
我们先来看，重复出现至少1个6点的对立事件是没有6点，那么概率为
类似地，我们可以计算后面两个事件的概率，比如对于来说，它的对立事件可以拆分为没有扔出6点和只扔出1个6点，那么概率为
的对立事件可以拆成没有扔出6点、只扔出1个6点、只扔出2个6点，所以概率为

💫 多重Bernoulli试验

若⼀个随机试验只出现两种可能的结果，则我们称此试验为 Bernoulli试验 。
比如我们之前提到过的抛硬币，硬币出现正面或者没有出现正面，就是一个Bernoulli试验；比如扔骰子，扔出6点和没有扔出6点，也是一个Bernoulli试验。
若⼀个Bernoulli试验独立重复次，则称之为 重Bernoulli试验 。
在单次Bernoulli试验中，我们经常假设某结果出现的概率为，不出现的概率为，其中。
 
例 考虑一个投篮命中率为40%的篮球运动员，我们求
  • 前8次投篮中有3次命中的概率；
      • 这要求8次投篮中有3次命中，5次没有命中，所以概率为
  • 直到第4次投篮才首次命中的概率.
      • 这要求前3次都没有命中，第4次命中，所以概率为
 
从上面这个例子，我们可以推出下面两个常见概率：
在重Bernoulli试验中，
  • 结果恰好出现次的概率为
    • 结果恰好在第次首次出现的概率为
       
      例 将个球放⼊个盒⼦中, 分别求事件概率: A=“第2个盒⼦中恰好有3球”; B=“第2个盒⼦不空”； C=“第2个盒⼦直到第4次才放⼊⼀球”； D=“第2个盒⼦直到第4次才放⼊两球”。
      将个球放进个盒子中，每个球落到每个盒子中的概率为。
      第2个盒子中恰好有3个球，那么有 个球放在了其他 个盒子中，所以概率为
      如果第2个盒子不空，它的对立事件为第2个盒子是空的，也就意味着所有的球都放进了另外个盒子中，所以概率为
      如果第2个盒子直到第4次才放入一个球，这意味着前三次都放进了另外个盒子中，概率为
      如果第2个盒子直到第4次才放入两球，这意味着前3次放入了1个球，第4次又放入了一个，概率为
      Prev
      6 全概率与Bayes公式
      Next
      8 随机变量及其分布I
      Loading...