10 随机变量的数字特征I

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💫 随机变量的期望

例我们在生活中常常面临着各种决策。假设有初始资⾦10万元，要考虑在两个投资项目里面选择⼀个。若⼀年后这两个投资项目产⽣的收益的概率分布表如下：

那么我们应该选择哪个项目进行投资？

为了帮助我们在类似的场景下进行决策，我们不只需要研究随机变量的分布，还需要研究随机变量的数字特征。

对于上面这种投资的场景，我们自然想使用随机变量的期望或均值（描述随机变量的平均取值）来衡量究竟哪种情况收益更高。

随机变量的期望该怎么求呢？换句话说，我们应该如何描述随机变量的平均取值呢？我们在之前知道，当我们有个确定的数时，我们可以计算其算术平均值

这个值就描述了这个数的平均取值。除此之外，还有几何平均、调和平均等平均值。

但是随机变量不同，因为随机变量并不是一个确定的数。不过当我们对随机变量进行观测时，观测到的结果是一个确定值，所以我们可以对进行多次观测，然后对观测值取平均。

离散型随机变量的期望

我们先考虑离散型随机变量，它的概率分布如下：

即

我们对随机变量进行次观测，观测到出现的次数为，那么我们就可以类似地求出平均值：

每个前面的系数是在重复了次观测后，结果出现的频率。我们之前说过，当时，频率会去趋近于概率，也就是

所以

因此，对于离散型随机变量，我们可以按照如下方式定义其期望：

设离散型随机变量的概率分布为，那么 离散型随机变量的期望 为

有了随机变量期望的定义，我们就可以回头来看看刚刚的决策问题：

例

我们可以计算出两个随机变量的期望分别为：

也就是从平均取值上来看，我们应该选择投资第二个项目。

随机变量的期望起源于赌博，发源于帕斯卡和费马的赌本划分问题：

例甲⼄赌博，每局扔⼀枚硬币，出现正面甲赢，否则⼄赢，规定谁先赢3局就得100元赌本。当甲赢了2局，⼄赢了1局时赌博因故终⽌，问赌本如何划分？

设为甲分得的赌本。如果甲赢3局，那么甲就会获得100元；如果乙赢3局，那么甲就获得0元，这两个值就是可能的取值。

如果甲赢得3局，那么可能的情况是：甲赢第4局、乙赢第4局且甲赢第5局，概率为

如果乙赢得3局，那么可能的情况是：乙赢第4局且乙赢第5局，概率为

所以甲分得赌本的期望为

那么乙分得赌本就是。

例⼀个家庭，若⽣育的第1个孩⼦是男孩，则不能再⽣第2胎，若第1胎为⼥孩，则可继续⽣育，直到⽣出男孩。为⽅便起见，假设每个家庭最多⽣3个。求⼀个家庭的男孩个数和⼥孩个数的期望值。

设和分别为这个家庭的男孩个数和女孩个数，我们先写出它们各自的概率分布。

首先考虑男孩个数，由于一旦生出男孩，这个家庭就不能再继续生育，所以家庭中男孩的数量只可能是0或者1。如果数量为0，意味着连续3次生出的都是女孩，概率为

如果数量为1，可能是前面生了0/1/2个女孩，后一次生出了男孩，概率为

所以的概率分布为

那么的期望为

再来考虑女孩个数，因为家庭可以一直生女孩，直到生出男孩为止，所以生出女孩个数可以为0（第1次就生出男孩）、1（第1次生出女孩，第2次生出男孩）、2（前两次生出女孩，第3次生出男孩）、3（生出的都是女孩），它们各自的概率为

所以的概率分布为

那么的期望为

我们发现，在执行这样生育政策的情况下，每个家庭生出男孩数量和女孩数量的期望是一样的！

例妈妈装了两个信封，⼀个装有100元，另⼀个装有50或200元，你随机挑了⼀个发现里面是100元，问你是否换信封？

如果不换信封，得到的就会是100元。

如果换信封，我们可以考虑得到收益的期望。换信封之后，我们可能得到50元或者200元，二者的概率均为，所以期望收益为

所以应该换信封。

连续型随机变量的期望

对于连续型随机变量，我们没有办法像上面一样直接观测次，因为其取值是连续的：

我们可以考虑在学习定积分时候的思想，将离散化，这样就能够类比上面离散型随机变量的情形。

首先，我们将划分为无穷多个小区间

因为是无穷多个小区间，所以每一段的长度，因此在每一段小区间上，都可以认为

想要类比离散型随机变量，我们可以认为在每一段小区间上，分别取值，那我们只需要求出取每个值的概率即可。

考虑，此时肯定落在小区间上，那么概率就是

这样我们就可以近似地算出期望

当有无穷多个小区间的时候，上面的每个近似都是成立的，最后的式子其实就是在上的积分：

这样，我们就推导出了连续型随机变量的期望：

设连续型随机变量的密度函数为，则 连续型随机变量的期望 定义为

例设，求。

如果是上的均匀分布，那它的密度函数就是

我们首先可以猜测一下，这个随机变量在上是均匀取值的，它的期望（均值）很有可能是1，我们来验证一下这个猜想：

例设，求。

标准正态分布的密度函数为

我们可以看出它是一个偶函数，那么就是一个奇函数，这意味着

例设，求。

指数分布的密度函数为

积分可得

在上面的计算过程中我们用到了分部积分。

例设随机变量的密度函数为

求期望。

我们直接对密度函数进行积分：

💫 期望的性质

回顾一下我们上面讲的两类随机变量的期望：

离散型随机变量：

连续型随机变量：

由级数和积分的性质，我们可以得出期望的以下性质：

对于任意的常数，都有

对于任意的常数，都有

对于任意的常数，都有

通过上面三条性质，我们还能推导出

我们可以直接按照定义证明，如考虑离散型随机变量的情况，的概率分布为，考虑随机变量，那么可取的值为

并且有

所以的期望为

💫 随机变量函数的期望

随机变量函数的期望公式

在介绍期望的性质时，我们推导出了

其中的其实是随机变量的一个函数，那么对于更一般的函数，我们怎么求它的期望呢？

以离散型随机变量为例，我们按照上面的推导过程，可能会想到，能否用乘上它对应的概率：

回想一下，在上面的证明过程中我们其实用了非常关键的一点，由于是一个一一对应，所以

这才能够推出上面的公式。所以一一对应是非常关键的，如果也是一个一一对应，我们也可以那么下面的公式就是成立的：

但如果不是一一对应的呢？这意味着可能存在一些，它们都被映射到，即

我们考虑它在中对应的项

我们知道，，所以

这恰好就是中对应的那些项，所以如果不是一一对应，上面的式子仍然是成立的。

因此，我们能够得出 随机变量函数的期望公式 ：

当是离散型随机变量时，有

当是连续型随机变量时，有

其中意味着这是随机变量对应的密度函数。

随机变量函数的期望公式其实就是把随机变量通过一个函数变成了另一个新的随机变量，然后问你新的随机变量的期望和原随机变量的概率分布之间有什么关系。

正常来说，当有一个随机变量时，我们如果想求出其期望，就需要知道它的概率分布。但是如果这个随机变量是另一个随机变量的函数，我们就不需要知道它的概率分布就可以求了，这就是随机变量函数的期望公式告诉我们的事情。

例设的概率分布为

求。

对于随机变量，按照我们上面说的，我们其实可以求出它的概率分布。因为的可取值为，所以的可取值为，并且它的概率分布为

那么它的期望就是

也可以使用上面我们推出来的随机变量函数的期望公式，有

例设随机变量的密度函数为

求。

我们在上面已经求出了，所以我们要求的值就是

使用随机变量函数的期望公式直接积分即可：

随机变量函数期望的性质

类似于随机变量期望的性质，随机变量函数的期望也有：

对任意，都有

可以根据上述线性性推导：

我们计算的这个被我们称为随机变量的方差，我们在下节课会重点介绍。