4 事件的概率II | 爱吃海底捞

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💫 概率的公理化定义

我们在3 事件的概率I中学到了古典概型和几何概型

但是我们发现，古典概型中要求“样本点有限”和“样本点等可能”，而几何概型中要求“均匀投点”和“面积可测”，但并不是所有的概率模型都满足这种这些条件，所以我们需要换一个角度，从概率所需要满足的三个基本性质出发，重新定义概率。

概率的公理化定义 ：概率为定义在中事件上的实函数，且满足

对于任意事件，有；

对于任意两两不相容的事件列，有

前两条分别是全事件的概率为1和概率的非负性，第三条为可列可加性。

💫 概率的性质

从上述概率的3条公理，我们可以推出概率的一些性质：

性质1：

利用第三条公理，有

所以有

性质2：如果事件两两不相容，那么有

利用第三条公理和上面得出的空事件概率，令，我们有

From CXZ：老师上课可能在推时可能会说其实可以简单地把分解为，然后用上面推出来的第二条性质就行了，但是我们可以发现推第二条性质的时候其实用到了这一条件，所以其实还是应该分解为这样推。

例计算事件的概率

因为

所以我们可以用第二条性质：

我们会发现这个时候样本空间有限，又是等概率的，此时模型和古典概型是一样的。

性质3：

因为，我们使用第二条性质有

性质4：若，那么有

我们可以做分解，此时，可以使用第二条性质和非负性得到

这种分解方式我们会经常用到，我们可以考虑为什么能做出上面的分解：对于来说，它可以被分为两部分，一部分是和的交集中，另一部分是中去掉后剩下的部分，所以自然的有上面的分解式，同时可以注意到这两部分是不交并。

性质5：

我们可以仍然用上面的分解式，有，所以有

如果有，那么我们还有，此时

性质6：

我们可以把分解为，显然这两部分是不相交的，利用性质5可以得到

如果推广到呢？其实直接计算就好了：

更进一步地，我们可以推广到个事件的情况，得到 概率容斥原理 ：

💫 概率的计算

我们可以用上面讲到的概率的容斥原理来重新考虑之前提到过的de Montmort匹配问题。

例 de Montmort匹配问题：牌桌上有编号为1—n的位置，现有编号也为1—n的牌，合上后随机地把这n张牌发放到上述n个位置。赌徒可以选择押注于“至少有一张牌的编号与其位置号匹配”，也可押注于“无牌与其位置匹配”。问赌徒应该如何决策？

令

如果再令，那么有，所以

为了计算这个值，我们可以考虑第项：

这代表着放置n张牌时，有m张牌匹配。那么我们其实就可以选出这m张牌，它们占据了m个位置，所以总的方法数就是把剩下张进行全排列，这样我们有

所以

当时，我们发现上面的值为

因为我们知道（参考补充知识）

所以当时，

From CXZ：老师上课貌似先说了当时，收敛，用的方法是Dirichlet判别法（能够判断绝对值单调趋于0的交错级数收敛），但其实并不必要，因为我们可以直接根据泰勒公式得出是收敛的。

例已知，求。

我们需要使用上面学过的概率的性质对它们进行分解，首先我们可以用性质5计算出

所以有

然后用性质6，可以得到

例证明：当时，有。

我们仍然使用性质5，有：

又因为，所以使用性质4有

那么，从而有

例假设天气预报员对今天明天下雨情况作如下四条推测:(1)今天下雨的概率为30%，(2)明天下雨的概率为40%，(3)今天明天都下雨的概率为20%，(4)今天或明天下雨的概率为60%。请你判断此预报员是否会概率？

我们用表示今天下雨，表示明天下雨，那么预报员其实就告诉了我们

我们用前三个概率可以计算出

所以预报员说的是错的。

例设某样本空间为，试构造一个合理的概率模型。

样本空间告诉我们样本空间中有可数个点，为了构造出一个概率模型，我们要对每一个点赋予某个概率，使其满足概率的三条公理。

有一种最简单的方法，可以把它变成有限的情况，比如把的概率都定义为0，前面n个数的概率都定义为，那么它其实就变成了我们前面讲的古典概型。

但无限的情况我们也能够处理，但这就需要使用级数，我们只需要把和为1的级数的每一项赋值给每个样本点即可，比如

这也可以构成一个概率模型。