2 随机事件及其运算 | 爱吃海底捞

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💫 随机事件

随机现象

事先不可预知结果的现象被我们称为 随机现象 ，比如灯泡的寿命、科大讯飞明天的收盘价是多少、扔骰子后的点数等。

在这些随机现象中，有一些随机现象是可以重复进行的，比如灯泡的寿命、扔骰子后的点数，可重复的随机现象被我们称为 随机试验 。随机试验与随机现象的区别就是能否重复，因此想要计算随机试验的概率，就可以通过大量的试验来得到：

上面等式的意思其实就是当试验次数足够多时，可以用事件的频率来近似事件的概率。比如现在让为抛一枚均匀硬币时正面朝上，为抛硬币的次数，就是抛次中正面朝上的次数，那么等式左边就是事件发生的频率，等式右边是硬币正面朝上的概率，等式的意思就是扔次时，大约会有次正面朝上。

随机事件

⼀个随机现象所有可能结果的全体集合我们称为 样本空间 ，记作。

例对于“两个骰子扔下后可能的点数”这一随机现象，他的样本空间就是

这里面和分别代表两个骰子的点数，取值均为1到6。

样本空间的每个元素称为 样本点 ，记作。样本点其实就是随机现象的某个结果，比如刚刚“两个骰子扔下后可能的点数”这一随机现象，“两个骰子的点数均为1”就是样本空间的一个样本点。因为扔出的两个骰子的点数都可能是1-6，所以这些结果就是所有的样本点，共36个。

样本空间的子集称为 随机事件 ，或者简称为事件，通常用大写字母来表示。

事件中也有一些较为特殊：

全事件：包含样本空间中的所有可能结果的事件，记作。

空事件：不包含任何结果的事件，记作。

基本事件：只包含一个样本点的事件，。所有的事件都可以由基本事件表示出来，所以如果能够知道所有基本事件的概率，就能够知道所有事件的概率。

例考虑我们刚刚提到的“两个骰子扔下后可能的点数”这一问题，其样本空间为

所以所有可能的随机事件总数是个（这其实就是集合的子集的个数）。

随机事件太多了，在我们的实际问题中，我们其实只关心某些事件，把那些事件描述清楚即可。

例 “两点数之和为5”，对应事件就是

事件可以用自然语言描述（更好地理解事件），也可以用样本点的集合表达（更方便计算）。

一个例子

例设盒中有1个绿球和6个黄球，对于下列几种设定，写出样本空间，以及用样本点的集合表示事件。

先后两次取球，每次取⼀球（放回），考察两次取球颜⾊

样本空间为

事件为

一次取球，考察取球颜⾊

样本空间为

事件为

先后两次取球，每次取⼀球（不放回），考察两次取球颜⾊

样本空间为

事件为

可以看出，同一语言描述的事件在不同样本空间下表现可能是不同的。

💫 事件的运算

事件的发生

若某随机现象的结果为，且，那么我们称事件发生了 。

例随机现象为“扔一个骰子出现的点数”，事件，那么如果扔出来的点数是1，就可以说事件发生了，因为此时，而。

那什么时候两个事件同时发生呢？直观上看，我们需要同时发生，也就是，这就涉及到事件的运算。

事件的运算

上面事件的交、并、补、差都和大家高中学习集合的符号含义是相同的（因为事件本身就是一个由样本点组成的集合）。

需要注意的是差，有些同学可能不是很熟悉，意味着“在但不在中“，也就是从中去掉所有中的元素，如果不够熟悉，可以在计算时自己写成或者。

通过事件对应的集合之间的关系，我们可以得到事件的关系。考虑我们上面说到的，这个新事件表示的就是事件和事件同时发生：

如果，那么事件和事件有可能同时发生，我们称事件是 相容事件 。

如果，那么事件和事件不可能同时发生，我们称事件是 不相容事件 。

例事件，，那么两个事件是否相容？

我们可以写出两个事件对应的集合：

很容易看出，所以两个事件是不相容事件。

对于，其表示的事件为“事件和事件至少有一个发生“。

对于，其表示的事件为“事件不发生“。而和还有一个特殊关系：

也就意味着他们不能同时发生，但又必有一个发生，这样的一对事件被我们称为 对立事件 。

大家可以思考对立事件和不相容事件的区别，对立事件多了一个“必有一个发生”。

对于，其表示的事件为“事件发生而事件不发生“。

事件的运算律

可以参考集合的运算律得到事件的运算律：

证明方法非常简单，比如我们来证明分配律

证通常来说，如果要证明集合，我们采用的方法是证明且。

对于，我们有或。

如果，那么且，因此。

如果，那么且，因此且，从而。

因此成立，所以

类似地可以证明

综合来看有

例某电路如图所示

令，请用上述事件表示事件“电路a,b导通”。

电路导通需要三条路任意一个导通，所以可以表示为

样本空间是什么呢，可以考虑每一个开关的状态，每一个开关可能是开的，也可能是闭合的，所以综合所有的情况，样本空间可以写作

共有种情况，也就是把开关1-4是打开和闭合的情况都列一遍。当然，这只是一种写法，只要能想办法把所有可能结果列出来即可。

例 de Montmort匹配问题中“⾄少有⼀张牌的编号与其位置号匹配”如何用简单事件表示？

设。那么“⾄少有⼀张牌的编号与其位置号匹配”就可以写作

对于类似的问题，我们也可以从其他角度进行思考，比如我们可以考虑“⾄少有⼀张牌的编号与其位置号匹配”这个事件的对立事件，为“没有一张牌的编号与其位置号匹配”，我们先写出这个事件，就是

然后再把这个事件对立回去，就是

最后一步用到了事件运算律中的De Morgan律（这个运算律也很好记，其实就是交的补等于补的并，并的补等于补的交）。

例某⼈向指定目标射击三枪, 令。请用上述三个事件分别表示下列事件: （1）“只有第1枪命中”；

（2）“只有1枪命中”；

（3）“⾄少有⼀枪命中”；

（4）“恰好命中两枪”；

（5）“⾄少命中两枪”。

例甲、乙、丙三人各射一次靶，记分别表示甲、乙、丙中靶，用上述三个事件来表示下面各个事件：

（1）甲未中靶：

（2）甲中靶而乙未中靶：

（4）三人中恰好有一人中靶：

（6）三人中至少有一人未中靶：

（8）三人中至少两人中靶：

（10）三人中至多一人中靶：

（11）三人中至多两人中靶：

完备事件组

如果事件满足

(1) （两两不相容）

(2)

那么我们称这些事件为一个 完备事件组 。

完备事件组其实就是把原本的样本空间划分成了不相交的几个部分。

From CXZ：老师上课有时候会说完备事件组和线性代数中“基”的概念是类似的，我觉得并不准确，因为一个线性空间中的任意向量都应该能用他的任意一组基表示出来，但是样本空间中的任意事件并不一定能用它的任意一组完备事件表示。比如扔一个骰子，，完全可以取，它们构成一个完备事件组，但是并不能用完备事件组表示出来。用基本事件构成的完备事件组才更与“基”这个概念对应。我们在6 全概率与Bayes公式中所描述的才更符合“基”这一概念。

我们在上面讲过，是一组对立事件，它们其实就满足不相容、并起来是整个样本空间的性质，所以就构成一个完备事件组。

我们可以考虑，如果两个事件和相容，如何把表示成两两不相容事件的并呢？

我们可以考虑把原本的拆成不相容的几部分，比如可以拆成

也可以拆成

把事件拆成不相容的几部分会在我们后面有些概率的计算中用到。