11 随机变量的数字特征II

type

status

date

slug

summary

💫 随机变量的方差

在上一讲，我们介绍了随机变量的期望/均值，它刻画了随机变量取值的平均水平。但是只有均值，我们并不能很好地掌握随机变量的性质，比如考虑马云和几个一般家庭收入的均值，会发现平均收入非常高，但这并不能很好地反映马云和这几个一般家庭的财富状况。

为了让我们更好地理解随机变量的分布，我们引入方差来刻画随机变量的取值相对于均值的偏离（波动）情况。

随机变量的方差 定义为

为什么说方差可以刻画随机变量的取值相对于均值的偏离情况呢？

💫 方差的性质

💫 期望和方差的应用

💫 期望和方差的推广

例我们在生活中常常面临着各种决策。假设有初始资⾦10万元，要考虑在两个投资项目里面选择⼀个。若⼀年后这两个投资项目产⽣的收益的概率分布表如下：

那么我们应该选择哪个项目进行投资？

为了帮助我们在类似的场景下进行决策，我们不只需要研究随机变量的分布，还需要研究随机变量的数字特征。

对于上面这种投资的场景，我们自然想使用随机变量的期望或均值（描述随机变量的平均取值）来衡量究竟哪种情况收益更高。

随机变量的期望该怎么求呢？换句话说，我们应该如何描述随机变量的平均取值呢？我们在之前知道，当我们有个确定的数时，我们可以计算其算术平均值

这个值就描述了这个数的平均取值。除此之外，还有几何平均、调和平均等平均值。

但是随机变量不同，因为随机变量并不是一个确定的数。不过当我们对随机变量进行观测时，观测到的结果是一个确定值，所以我们可以对进行多次观测，然后对观测值取平均。

离散型随机变量的期望

我们先考虑离散型随机变量，它的概率分布如下：

即

我们对随机变量进行次观测，观测到出现的次数为，那么我们就可以类似地求出平均值：

每个前面的系数是在重复了次观测后，结果出现的频率。我们之前说过，当时，频率会去趋近于概率，也就是

所以

因此，对于离散型随机变量，我们可以按照如下方式定义其期望：

设离散型随机变量的概率分布为，那么 离散型随机变量的期望 为

有了随机变量期望的定义，我们就可以回头来看看刚刚的决策问题：

例

我们可以计算出两个随机变量的期望分别为：

也就是从平均取值上来看，我们应该选择投资第二个项目。

随机变量的期望起源于赌博，发源于帕斯卡和费马的赌本划分问题：

例甲⼄赌博，每局扔⼀枚硬币，出现正面甲赢，否则⼄赢，规定谁先赢3局就得100元赌本。当甲赢了2局，⼄赢了1局时赌博因故终⽌，问赌本如何划分？

设为甲分得的赌本。如果甲赢3局，那么甲就会获得100元；如果乙赢3局，那么甲就获得0元，这两个值就是可能的取值。

如果甲赢得3局，那么可能的情况是：甲赢第4局、乙赢第4局且甲赢第5局，概率为

如果乙赢得3局，那么可能的情况是：乙赢第4局且乙赢第5局，概率为

所以甲分得赌本的期望为

那么乙分得赌本就是。

例⼀个家庭，若⽣育的第1个孩⼦是男孩，则不能再⽣第2胎，若第1胎为⼥孩，则可继续⽣育，直到⽣出男孩。为⽅便起见，假设每个家庭最多⽣3个。求⼀个家庭的男孩个数和⼥孩个数的期望值。

设和分别为这个家庭的男孩个数和女孩个数，我们先写出它们各自的概率分布。

首先考虑男孩个数，由于一旦生出男孩，这个家庭就不能再继续生育，所以家庭中男孩的数量只可能是0或者1。如果数量为0，意味着连续3次生出的都是女孩，概率为

如果数量为1，可能是前面生了0/1/2个女孩，后一次生出了男孩，概率为

所以的概率分布为

那么的期望为

再来考虑女孩个数，因为家庭可以一直生女孩，直到生出男孩为止，所以生出女孩个数可以为0（第1次就生出男孩）、1（第1次生出女孩，第2次生出男孩）、2（前两次生出女孩，第3次生出男孩）、3（生出的都是女孩），它们各自的概率为

所以的概率分布为

那么的期望为

我们发现，在执行这样生育政策的情况下，每个家庭生出男孩数量和女孩数量的期望是一样的！

例妈妈装了两个信封，⼀个装有100元，另⼀个装有50或200元，你随机挑了⼀个发