3 事件的概率I | 爱吃海底捞

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💫 事件的概率

我们在这里介绍概率的描述性定义：

事件的概率是一个取值于的实数，它度量了事件发生的可能性大小。

概率模型其实就是某种类型的函数，把样本空间中的事件映射到上的某个实数。

我们在这节会介绍古典概型和几何概型，这也是大家在高中学习过的。

💫 古典概型

古典概型的定义

若某随机现象的样本空间只有有限个样本点，且各样本点出现等可能，则，有

这时我们称对应的为 古典概型 。其中分别表示中样本点的数目。

例假设骰子均匀，则的概率为

的概率为

例可以考虑我们在第一节课以及第一次作业里面遇到的一个问题：假设甲乙各自拿本金50个金币参与赌博，约定谁先赢3局可得到所有金币。已知前3局甲赢了2局，乙赢了1局，问甲赢的概率是多少。

我们有很多种构建样本空间的方式，比如：

（1），。

（2），。

第一种构造方式是以第四、五局的结果作为样本点，第二种则是以比赛后续可能的情况为样本点。那如何计算概率呢？

我们会发现，在（1）中，每个样本点是等可能的，而（2）中并不是（因为后续结果为甲赢导致比赛结束的概率为），因此（2）不是古典概型。所以按照（1）中样本点的数目来算，甲赢的概率为

计数法则

（1）乘法法则

若某事需经步才能完成，且每⼀步又分别有种⽅法，则完成此事的总⽅法数为

例想要做一份冰激凌，过程可以分为：选冰激凌的口味——选水果——选巧克力豆

假如冰激凌共有香草、抹茶、海盐3种口味，水果有橙子、葡萄、苹果、草莓4种，巧克力豆有黑色、彩色2种，那么能做出的冰激凌种类数目为

（2）组合

从个不同对象中任取个构成⼀组的总取法数为

例⼀副扑克，去掉⼤小王⼀共52张牌，4个花⾊，随机抽5张牌，问恰好得到3带2的取法有多少种。

要抽到3带2，那就是“3”是一个点数，“2”是另一个点数，每个点数还有4种花色，我们按照乘法法则来做，先抽“3”，数目为

道理是先从1-K种选出一个点数，再从这个点数的4种花色中选出3个。然后我们再抽“2”，这时只剩下12种花色了，所以同理数目为

所以方法总数为

从52张牌里面抽5张牌的所有可能为，那么恰好抽出来3带2的概率为

（3）排列

从个不同对象中任取个并按顺序排成⼀⾏的总排法数为

例（生日问题）设⼀年有365天，每⼈都可等概率地选择某⼀天出⽣，问⼈中⾄少有2⼈同⼀天⽣日的概率是多少？

令。

我们先来考虑能否把分解成一些简单事件，一个很直接的想法是把所有人按情况划分，即令，但我们发现其实

因为中还存在一些其他情况，比如有两人时某一天生日，另外两人是另一天生日。所以我们发现，把分解成一些简单事件时比较复杂的。

所以我们转而考虑的对立事件，是，而

这个道理是因为当时，每个人都可以选择365天的某一天，所以样本空间中样本点的数目为；而如果大家的生日各不相同，第一个人可以从365天中任意选一天，第二个人就只能从剩下的364天中选择，以此类推，就能够得到上面的概率。

我们还可以把随变化的图像画出来：

💫 几何概型

古典概型强调“等可能性”，但是只能处理有限个样本点。将有限向无限延伸，就发展出了几何概型。

若在有界区域内均匀投点，则投入其子区域的概率定义为

这时我们称对应的为 几何概型 。其中分别表示的“测度”。

什么是有界区域呢？就是对于这个区域，我们可以找到一个维球包住它，因此也有

什么是测度呢？比如对于是一维的情况，表示的就是的长度；对于是二维的情况，表示的就是的面积。

和古典概型的等可能性类似，几何概型要求“均匀投点”。

例（函数积分的模拟计算）计算函数积分

我们考虑使用上面的几何概型。我们先把图像画出来

考虑几何概型的定义，我们向中均匀投点，投入区域内的概率为

当均匀投点时，我们可以把上述概率近似为

所以我们可以把积分近似为

例如对于，我们就可以按照上述过程来模拟计算函数积分：

会发现输出结果接近于积分的真实值2。

例已知某地铁站每隔5分钟有⼀辆地铁到达，求某⼈去此地铁站坐车等候时间超过3分钟的概率。

这是几何概型中样本空间是一维的情形。我们可以把上一辆车走的时刻记为0时刻，那下一辆车到的事件为5时刻。

某人到达地铁站的事件应该是中任意一点，满足几何概型。而等候时间超过3分钟需要某人到达的时间在中的某一点，所以等车时间超过3分钟的概率为

例甲⼄两⼈相约在7点到8点之间在某地会面且约定：先到者等候另⼀个⼈20分钟，过时不候。两⼈能会面的概率有多⼤？

这是样本空间为二维的情形。我们用和分别表示两个人到的时刻，两人会面就等等价于

我们可以在二维平面上画出符合条件的x和y：

所以两人会面的概率为

几何概型还能够告诉我们一件事情：

就算，但是还是有可能发生（考虑是二维空间中的一个矩形区域，是其中一个点，那么如果，使用几何概型，点的面积为0，那么就有，但是还是可能发生的）。

就算，但是还是有可能不发生（还是如上考虑，如果，使用几何概型，去掉某一点后，的面积还是与相同，那么就有，所以有可能不发生，因为可能发生事件）。

例设扔一个重心偏移的骰子，出现各点数的概率分别为

那么出现点数为偶数的概率为

当“等概率”不被满足时，就不能够再使用古典概型，而应该考虑每个样本点的权重。可以再考虑我们在古典概型部分提到甲乙各自拿本金50个金币参与赌博的题目，有一种样本空间的构造方法为，，此时

所以甲最后赢的概率为